Considerado uno de los conceptos más enigmáticos de la ciencia, en matemáticas el término infinito hace referencia a lo que no tiene fin o límite, como, por ejemplo, los números. Precisamente el concepto de números infinitos fue desconcertante para los matemáticos hasta que en 1874 Georg Cantor demostró que la infinitud podía ser estudiada de manera matemática.
 
 
 

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La idea de infinito se remonta a los antiguos griegos y se relaciona con campos tales como la filosofía y la religión. Hablamos sobre esto y mucho más con José Antonio Prado-Bassas, autor de Historia del infinito, un libro de la editorial Pinolia.
Pregunta. ¿Cuáles son los primeros registros que existen de la idea de infinito?
 

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Respuesta. El infinito es un concepto que va muy de la mano de la filosofía, la religión y, cómo no, de las matemáticas. En este campo, que es del que sé un poquito, los primeros registros escritos que se tienen del infinito proceden de la cultura griega clásica. Concretamente Anaxágoras fue el primer filósofo que introdujo una cosmología en la que el infinito (él lo llamaba apeiron, lo ilimitado) jugaba un papel fundamental.
Pero quizás en el ámbito numérico, fue Zenón con sus paradojas, aunque realmente son aporías, es decir, argumentos que dan lugar a paradojas), quien primero se preocupa del infinito al tratar de demostrar que es imposible dividir tiempo o espacio infinitas veces.
Ya, algo más adelante, Pitágoras (como representante de la escuela pitagórica), es el responsable de la introducción de los números irracionales al descubrir que la diagonal del cuadrado es inconmensurable con su lado. Dicho de otro modo, para medir la diagonal usando de referencia el lado, necesitamos dividir a este último una infinidad de veces. Y esto trajo consigo un cataclismo en toda su filosofía de vida que se basaba en que todo, absolutamente todo, se podía medir en una cantidad finita de pasos.
P. ¿Cómo ha evolucionado la noción de infinito en la historia de las matemáticas?
R. El infinito ha ido evolucionando muy lentamente, sobre todo al principio. Con las aporías de Zenón y los inconmensurables de por medio, Aristóteles introdujo una especie de miedo ancestral al infinito en el cual solo se permitía hablar de cosas que no acababan, pero decir que eran infinitas parecía una especie de tabú.
Poco a poco, a media que pasó el tiempo, este tabú se fue olvidando poco a poco y ya no había problemas en dividir las cosas en infinitas partes. A partir del Renacimiento, ya nadie tenía miedo a hacer este tipo de argumentos, aunque las ideas aristotélicas aún seguían muy presentes y, como se puede leer en mi libro, eso hizo que algunos matemáticos no pudieran ir más allá.
Pero el salto definitivo en el concepto de infinito, al menos desde el punto de vista de las matemáticas, se da a finales del siglo XIX cuando Cantor, por decirlo de una forma sencilla, entiende que el infinito es un número más. Demuestra que, de hecho, hay varios tipos de infinitos (unos más grandes que otros) e incluso nos enseña a operar con ellos.
Este hecho, junto con la introducción de la geometría proyectiva en la que rectas paraleles se cortan en un punto (llamado punto del infinito), como el punto de fuga de la perspectiva clásica renacentista, son los momentos clave en los que el infinito pasa de ser un concepto abstracto a entrar en el imaginario colectivo de las matemáticas como entidad propia y con la que tenemos reglas claras para trabajar con él.
 
CIENCIA
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Mar Aguilar
P. ¿Cómo han influido las ideas filosóficas sobre el infinito?
R. Es muy difícil separar la filosofía y las matemáticas, e incluso la religión, en el concepto de infinito. La idea primigenia del Todo, es el germen del concepto matemático. Desde Anaxágoras a Aristóteles, todos los grandes filósofos griegos han llegado a abordar de alguna forma esta idea. Es más, tal y como ya he dicho antes, las idas de Aristóteles del infinito potencial (el de las cosas que pueden ser tan grandes como queramos) y el actual (las cosas que de verdad son infinitas), han sido bastante influyentes en el devenir del concepto.
Incluso cuando los matemáticos aprendimos a sobrepasar sus ideas, la filosofía ha estado muy presente. De hecho, grandes filósofos son también partícipes de la historia, como Descartes y Leibniz (por decir algunos de los que se mencionan en el libro) o Kant y Spinoza, por mencionar otros que hemos dejado a un lado, pues sus aportaciones entran más en el ámbito filosófico que en el matemático.
P. ¿Cómo se ha representado el infinito en la historia del arte y la literatura?
R. Como idea filosófica el infinito ha estado muy presente en el arte.
Por ejemplo, la idea de perspectiva que nace en el Renacimiento no es más que el afán del pintor por llegar al infinito. El punto de fuga y la línea del horizonte son la representación pictórica del infinito. Y, de hecho, fueron la semilla de la que nació una nueva Gometría, la geometría proyectiva, en la que el infinito juega un papel principal.
En la literatura, si hay que relacionar a alguien con el infinito matemático ese es Jorge Luis Borges y su libro El Aleph. Precisamente Aleph, la primera letra del alfabeto hebreo es la elegida por Cantor para representar los distintos tipos de infinitos. Es también el nombre de este delicioso libro de Borges en el que el infinito es un personaje más.
En cualquier caso, en arte y literatura priman los aspectos más subjetivos del concepto filosófico de infinito. Me refiero a lo que está más allá, lo inalcanzable, lo más grande… En literatura el infnito es sinónimo de todo esto y mucho más.

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¿Qué teoremas importantes se han demostrado en relación con el infinito?
R. Teoremas y resultados relacionados con el infinito hay muchísimos… casi que podríamos decir que son infinitos en sí mismo.
Bromas aparte, si nos tuviésemos que quedar con un resultado, creo que la gran mayoría de personas que nos dedicamos a las matemáticas estaríamos de acuerdo en decir que el teorema de Cantor.
Es ese resultado en el que el matemático alemán demuestra que hay infinitos de diferentes tamaños y que, además, los podemos comparar.
Ese, a mi parecer, es el resultado principal. A partir de él comienza la Matemática a interesarse por este concepto y aparecen resultados también muy sorprendentes, como el que dice que el infinito de un segmento es el mismo que el de un cuadrado o un cubo (da igual la dimensión), debido a Cantor y basado en correspondencias con su gran amigo Dedekind.
O para mi gusto, uno de los más sorprendentes y resultado con el que concluye el epílogo del libro, El Teorema de Goodstein. Se trata de un resultado que se enuncia en términos de números (sin necesidad de recurrir al infinito en ninguna de sus formas), pero que para demostrarlo es imprescindible pasar por él. Es decir, un resultado que nos dice que sin el infinito, la humanidad sabría menos matemáticas que con él.

 
Mar Aguilar
P. ¿Qué aportes hizo Georg Cantor al estudio del infinito?
R. Ya casi que te he contestado a la pregunta. En el libro lo define como el domador del infinito. Por hacer una analogía un poco burda, podría llamársele el Ángel Cristo del infinito (quedándonos únicamente con la faceta profesional, claro).
Cantor demostró que había muchos infinitos, que se les podía comparar unos con otros y que, incluso, se podía operar con el infinito (casi) como si de números se tratase.
Cantor abrió la puerta del bestiario matemático para que el infinito entrase con todo su séquito.
Fue el trabajo de toda una vida, que, por cierto, no fue fácil: ni en lo personal ni e lo matemático, pues fueron muchos los que, de entrada, lo tildaron de excéntrico por dedicarse a estas cosas.
P. ¿Qué son los números transfinitos y cómo se relacionan con el infinito?
R. Los números transfinitos son el nombre que Cantor le dio a al infinito con el que poder hacer operaciones aritméticas: los ordinales (en contraposición a los cardinales, que era el concepto de infinito que permitía comparar uso con otros),
Hoy en día, se utiliza para designar a estos dos conceptos (ordinales y cardinales), por lo que casi que se podría entender como un sinónimo de infinito.
P. ¿Hay un único infinito?
R. No.
Los cardinales surgen porque Cantor demuestra que hay infinitos más grandes que otros. Es decir, de la necesidad de comparar estos infinitos.
Por otra parte los ordinales surgen de querer operar con el infinito como un número. Así, si ya tenemos una lista sin fin de cosas, no es lo mismo añadir un nuevo ítem a la lista al principio o en medio (pues entonces bastaría con reordenar las cosas) o poner ese nuevo ítem al final de la lista: esto sería como sumar 1 al infinito.
Así que podríamos decir que hay dos tipos de infinitos como conceptos matemáticos: cardinales (que sirve para comparar) y ordinales (que sirve para operar). Pero dentro de los cardinales, Cantor demostró que hay una variedad inconmensurable de tamaños del infinito.
¿Hay muchos infinitos? Sí. ¿Cuántos? Infinitos. ¿Pero cuánto de infinito? Infinito…. Y así hasta nunca acabar.

P. ¿Cuáles son los principales problemas relacionados con el infinito que hoy en día siguen abiertos?
R. El principal problema sobre el infinito fue el mismo con el que se encontró Cantor: la hipótesis del continuo.
Cantor demostró que los infinitos se podían comparar y que el infinito de lo que se puede enumerar (el de los números naturales, es decir, 1,2,3,…) es más pequeño que el de todos los números reales (los naturales, los enteros, racionales e irracionales).
Pero… ¿hay algo en medio? La hipótesis del continuo asegura que no. Que entre ambos no hay ningún otro infinito.
Este problema inquietó sobremanera a Cantor, pues no había forma ni de demostrarlo ni de refutarlo.
Normal, varios años más tarde de su muerte se pudo comprobar que la afirmación “no hay ningún infinito entre los naturales y los reales” no es ni verdad ni mentira: es indemostrable (según los axiomas básicos e la teoría de conjuntos).
Hoy ya sabemos esto. Pero la teoría de conjuntos, que es en la que se basa la concepción moderna del infinito, ha seguido evolucionando y hay versiones más complejas de estos resultados que aún no se sabe si son ciertos, falsos o indemostrables. Son resultados muy complejos en su formulación ya y que escapan incluso para matemáticos que no estén especializados en el tema.